Espacio de Estados

Espacio de estado

Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí en una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas. El enfoque en el espacio de estados para los análisis de sistemas es el más conveniente.
En tanto que la teoría de control convencional se basa en la descripción de las ecuaciones de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en la cantidad de variables de estado, de entradas y de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones.

Representación del espacio de estados

El conjunto de estados que el agente (en nuestro ejemplo, el robot) debe recorrer, generalmente se representa mediante un grafo, aunque en algunos casos concretos utilizaremos árboles. Siguiendo con nuestro ejemplo, cada nodo del grafo representará a uno de los baldosines de la habitación, y dos nodos serán adyacentes si también lo son sus baldosines correspondientes.
El grafo del dibujo en la parte superior arriba representa el tablero de manera parcial, y cada nodo es identificado por un número. Suponemos que la posición inicial del robot es el baldosín marcado con el número 1. En este grafo se aplica una correspondencia entre los nodos del mismo y los baldosines numerados de igual forma. Como se puede observar en el tablero, por ejemplo, el baldosín 1 es adyacente al 2 y al 5, y este hecho queda plasmado en el dibujo mostrado.

Ejemplo:

Se tienen dos jarras, una de 4 litros de capacidad y otra de 3.
-Ninguna de ellas tiene marcas de medición.
- Se tiene una bomba que permite llenar las jarras de agua.
-Averiguar cómo se puede lograr tener exactamente 2 litros de agua en
la jarra de 4 litros de capacidad.
-Representación de estados: (x y) con x en {0,1,2,3,4} e y en {0,1,2,3}.
-Número de estados: 20.

Solucion:


Estado inicial: (0 0).
Estados finales: todos los estados de la forma (2 y).
Operadores:
Llenar la jarra de 4 litros con la bomba.
Llenar la jarra de 3 litros con la bomba.
Vaciar la jarra de 4 litros en el suelo.
Vaciar la jarra de 3 litros en el suelo.
Llenar la jarra de 4 litros con la jarra de 3 litros.
Llenar la jarra de 3 litros con la jarra de 4 litros.
Vaciar la jarra de 3 litros en la jarra de 4 litros.
Vaciar la jarra de 4 litros en la jarra de 3 litros.


Aplicación de operadores a un estado (x y):
Operador .Llenar jarra de 3.
Aplicabilidad: y<3>0, x+y>4 (precondición)
Estado resultante: (4 x+y-4)
Operador .Vaciar jarra de 3 en jarra de 4.
Aplicabilidad: y>0, x+y4 (precondición)
Estado resultante: (x+y 4)
Análogamente los demás operadores